12. Volumen und Oberfläche einer Kugel
Bereits ARCHIMEDES leitete die Formel für das Volumen einer Kugel durch Vergleich mit dem Volumen eines Kegels und eines Zylinder her. Er verwendete bei seiner Überlegung einen Vergleich der Kugelmasse mit der eines Kegels und eines Zylinders sowie das Hebelgesetz (siehe etwa [WITTMANN: Elementargeometrie und Wirklichkeit, Seite 240]).
Auf einer Idee von GALILEI (1564 - 1642) soll folgende Herleitung beruhen: Eine Halbkugel mit Radius r und ein Zylinder mit selbem Radius (und Höhe) r stehen - wie in der Skizze ersichtlich - auf einer Ebene.
Nimmt man vom Zylinder einen Drehkegel heraus, so hat der verbleibende Restkörper
ein Volumen von ...
V =
Dieser Körper wird ARCHIMEDISCHER RESTKÖRPER genannt.
Die Halbkugel und der Archimedische Restkörper haben in jeder Höhe gleiche Schnittflächen:
| Kreis: |
Kreisring: |
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| Zur Bestimmung des Maßes der Oberfläche denken wir uns diese in (beliebig viele) Teile zerlegt. Die Ecken dieser Teilflächen werden mit der Kugelmitte verbunden. Es entstehen pyramidenartige Gebilde, deren Grundflächen etwas gewölbt sind. Je kleiner diese Teilflächen gewählt werden, desto genauer stimmen die Volumina der Teilkörper mit den Inhalten von Pyramiden überein. Der gesamte FACETTENKÖRPER füllt die Kugel aus. Deshalb kann man folgern: |
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| O = |
Benennung und Formeln für die wichtigsten Kugelteile
| Die Formeln wurden der Formelsammlung von Kraft-Bürger-Unfried-Haschkovitz aus dem HPT-Verlag, Seite 11, entnommen. |
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