4. Dreiecke
Weitere Sätze, Eigenschaften und merkwürdige Punkte
Nach elementaren Dreieckssätzen - wie der über die Winkelsumme - folgt ein recht reizvoller Abschnitt der ebenen Geometrie, jener über die sogenannten "merkwürdigen" Punkte. Den Abschluss; bilden Erläuterungen zum Punkt von FERMAT. Dieses Kapitel bildet ein ideales Arbeitsfeld zur Einführung in die Geometrie mit dem Computer. Mit dynamischen Geometrieprogrammen wie "CABRI-Géomètre", "Zirkel und Lineal", "Geonext", "Euklid" u.a. kann man vor allem bei diesem Kapitel den sinnvollen Einsatz des Computers im Unterricht demonstrieren.
| Bezeichnungen: |
(für Konstruierbarkeit notwendig!) a + b > c . . . a > | c - b| . . . |
| Winkelsumme im Dreieck: |
Klappmodell: |
| Zwei Sätze über Winkel und Seiten: Innenwinkel – Außenwinkel
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b ' = a + g = |
| Innenwinkel-Seitenlängen
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a > ba > e Ù e > b Þ . . . |
| rechtwinkelig | stumpfwinkelig | |||
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Beispiele:
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Die drei Mittelnormalen der Dreiecksseiten werden untersucht:
Man stellt fest:
Sie schneiden einander - zumindest im gegenständlichen Beispiel - in einem Punkt.
Diese Tatsache wollen wir beweisen:
Der Schnittpunkt - U genannt - liegt zumindest auf 2 der Mittelnormalen , z.B. ma und mc , daraus folgt: UC = UB und UB = UA, also gilt (Transitivität) UC = UA
und deshalb liegt U auch auf mb.
U kann als Mittelpunkt eines Kreises gewählt werden, der durch A,B und C geht, U heißt deshalt UMKREISMITTELPUNKT und der Kreis Umkreis.
Die drei Winkelsymmetralen werden gezeichnet.
Man kann eine analoge Beziehung wie im obigen Fall erkennen:
Der gemeinsame Schnittpunkt ist der Inkreismittelpunkt I. (Achtung: Vor dem Zeichnen des Inkreises die Berührpunkte mit den Dreieckseiten festlegen!)
Zeichnet man auch die Außenwinkelsymmetralen ein, so kann man erkennen, dass es auch 3 Ankreise gibt, die ebenfalls alle 3 Seiten berühren!
Die drei Höhen des Dreiecks schneiden einander ebenfalls in einem Punkt, dem HÖHENSCHNITTPUNKT H:
| Bemerkung: Unter einer Dreieckshöhe versteht man einerseits die Normale auf eine Seite durch den gegenüberliegenden Eckpunkt (GERADE), andererseits aber den Abstand eines Eckpunktes von der gegen-überliegenden Seite (STRECKEN-LÄNGE). |
Beweis: (Ähnliches Vorgehen wie bei U und I führt hier nicht ans Ziel.) Man verschiebt jede Dreieckseiten parallel durch den gegenüberliegenden Eckpunkt. Es entstehen 3 Parallelogramme, aus denen folgt:
Die Eckpunkte des ursprünglichen Dreiecks halbieren also die Seiten des neuen Dreiecks, die gezeichneten Höhen sind ......................................................... des neuen Dreieck, demnach ist ihr Schnittpunkt der Umkreismittelpunkt des neuen Dreiecks und damit ist klar, dass sich die Höhen in einem Punkt schneiden müssen.
| Unter dem Schwerpunkt einer Strecke versteht man ihren Halbierungspunkt: |
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| Bei einem "dünnen" Rechteck befindet sich der Schwerpunkt sicher auch auf der lotrechten Symmetrieachse. Wir stellen uns ein Dreieck parallel zur Seite c in dünne Streifen zerlegt und diese zu Rechtecken ergänzt: |
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Definition einer Schwerlinie: Eine Schwerlinie ist jene Gerade, die durch den Halbierungspunkt einer Seite und den gegenüberliegenden Eckpunkt geht.
Alle drei Schwerlinien gehen ebenfalls durch einen Punkt, den SCHWERPUNKT S.
(Der Beweis dieser Aussage folgt später.)
Das Dreieck in der 2. Klasse
